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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

Menu
 * Parte 1 Submenu
   * Vectores, recta y plano Submenu
     * Introducción a vectores en R3
     * Producto escalar en R3
     * Producto vectorial y mixto
     * Ecuaciones del plano
     * Ángulos y distancias
     * Haz de planos
     * Recta en ({mathbb{R}^3})
     * Recta y plano: intersecciones y ángulos
     * Distancias y proyecciones
   * Matrices y determinantes Submenu
     * Matrices
     * Determinante de una matriz
     * Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
   * Espacios vectoriales Submenu
     * Espacios y subespacios vectoriales
     * Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
     * Operaciones con subespacios
   * Sistemas de ecuaciones Submenu
     * Rango y sistemas de ecuaciones lineales
     * Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
 * Parte 2 Submenu
   * Transformaciones lineales Submenu
     * Definición y propiedades de las transformaciones lineales
     * Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
     * Teorema fundamental de las transformaciones lineales
     * Matriz asociada a una transformación lineal
     * Composición e inversa de transformaciones lineales
     * Matriz de cambio de base
   * Autovalores y autovectores Submenu
     * Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
     * Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
     * Matrices semejantes
     * Diagonalización de una matriz
     * Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
     * Diagonalización de una transformación lineal
   * Cónicas, parametrización y superficies cuádricas Submenu
     * Introducción a cónicas
     * Circunferencia
     * Parábola
     * Elipse
     * Hipérbola
     * Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola
       e hipérbola)
   * Aplicaciones de la diagonalización Submenu
     * Potencias de una matriz diagonalizable
     * Rototraslación de cónicas
   * Números complejos Submenu
     * Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
     * Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
     * Radicación de números complejos
     * Regiones del plano complejo
 * Exámenes Submenu
   * Parciales Submenu
     * Parcial 1 Submenu
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       * 13-09-2019
     * Parcial 2 Submenu
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       * 31-10-2015
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MAIN CONTENT


ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Página web institucional – Un espacio para aprender



WEB DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Este sitio web se desarrolló para compartir los contenidos creados para dictar
semi-presencialmente la materia Álgebra y Geometría Analítica en UTN-FRBA.

El trabajo de producir de ese contenido llevó un poco más de dos años. Después
continuamos realizando videos, mejorando explicaciones, agregando ejemplos,
parciales resueltos, etc.

Al ponerlos accesibles en la web, los van a poder aprovechar muchas más personas
que las que realizan la cursada semi-presencial.

El contenido tiene GIFs, videos, applets interactivos con GeoGebra, etc…


CÓMO NAVEGAR EL CONTENIDO

Desde el menú superior pueden navegar por los temas separados en unidades:




LAS ECUACIONES SON OBJETOS REUTILIZABLES

Las ecuaciones de este material no son imágenes, sino objetos-ecuación creados
utilizando MathJax: tipografía matemática de alta calidad, modular, accesible y
reutilizable.

Por ejemplo la siguiente matriz está creada usando MathJax:

A=⎛⎜⎝102111034⎞⎟⎠A=(102111034)


CÓMO REUTILIZAR LAS ECUACIONES EN WORD

Al hacer clic derecho sobre una ecuación se abre un menú con opciones. Eligiendo
Show Math As > Math ML Code:



Se obtiene el código en Math ML de la ecuación.



Copiando este código y pegándolo en Word con la opción de pegado Conservar Solo
Texto:



Se obtiene la ecuación no cómo imagen sino cómo objeto editable:






ESTA PÁGINA ESTÁ EN CONTINUO PROCESO DE REVISIÓN Y ACTUALIZACIÓN PARA MEJORAR LA
EXPERIENCIA.



REALIZADO EN UTN FRBA




CONTENIDOS POR UNIDAD




UNIDAD 1


VECTORES, RECTAS Y PLANOS

En esta primera unidad de Álgebra y Geometría Analítica trabajaremos con
vectores en R3, extendiendo al espacio tridimensional las operaciones definidas
en R2 y definiendo nuevas operaciones que permitirán ampliar el campo de
aplicación. Esta unidad se centra en el estudio de planos y rectas en R3.

A medida que recorran los temas desarrollados, podrán apreciar que los vectores
resultan una herramienta potente para la resolución de diferentes problemas de
la geometría analítica: intersecciones, distancias, ángulos, proyecciones, etc.
Los conceptos trabajados en esta unidad se retomarán con frecuencia en otras
unidades de la materia, proporcionando un marco geométrico que facilita la
comprensión del estudio de sistemas de ecuaciones lineales, espacios
vectoriales, transformaciones lineales y otros temas.

Empezar Unidad 1


UNIDAD 2


MATRICES

En el Módulo B del Seminario de Ingreso se estudiaron sistemas de ecuaciones
lineales (características, formas de resolución y clasificación). Como método de
resolución se aplicó principalmente el método de eliminación de Gauss, basado en
operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada del sistema.

En esta segunda unidad retomaremos estos temas con mayor profundidad a partir
del estudio de las matrices y sus determinantes.

En relación con los temas vistos en la primera unidad, aquí podrá apreciarse la
conexión que existe entre la Geometría de rectas y planos y los sistemas
lineales. Por un lado, la Geometría permite interpretar los sistemas y por otro,
algunos problemas geométricos se traducen a través de un sistema lineal.

Los conceptos que se desarrollarán en esta unidad a su vez constituyen una
herramienta fundamental para la comprensión de la teoría de los espacios
vectoriales, transformaciones lineales y diagonalización.

Empezar Unidad 2


UNIDAD 3


ESPACIOS VECTORIALES

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de
matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma
(de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos
conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas
propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué
propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y
variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos
centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y
coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3


UNIDAD 4


SISTEMAS DE ECUACIONES

En la unidad 2 analizamos las relaciones entre matrices, determinantes y
sistemas de ecuaciones lineales. Por otra parte, en la unidad 3 vimos los
conceptos básicos de la teoría de espacios vectoriales.
En esta unidad retomaremos el estudio de sistemas de ecuaciones lineales a la
luz de la teoría de espacios vectoriales. Veremos cómo el rango constituye el
concepto central para analizar la compatibilidad y determinar el número de
variables libres de un sistema lineal.

A su vez, un buen manejo de los sistemas de ecuaciones lineales es la clave para
la comprensión del tema que desarrollaremos en la unidad siguiente:
transformaciones lineales.

Empezar Unidad 4


UNIDAD 5


TRANSFORMACIONES LINEALES

En la unidad anterior habíamos estudiado sistemas de ecuaciones lineales
A.x=bA.x=b , con A∈Rm×nA∈Rm×n. Una matriz AA (m×nm×n) puede pensarse como un
objeto que “actúa” sobre un vector xx multiplicándolo para producir un nuevo
vector:
x→b=A.xx→b=A.x
Desde este punto de vista, resolver la ecuación A.x=bA.x=b equivale a encontrar
todos los vectores de Rn×1Rn×1 que se transforman en el vector bb de Rm×1Rm×1
bajo la “acción” de multiplicar por AA.
Esta correspondencia entre xx y A.xA.x proporciona uno de los principales
ejemplos de una clase de funciones entre espacios vectoriales llamadas
transformaciones lineales, tema que desarrollaremos en esta unidad.
Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en Matemática,
Física, Ingeniería, procesamiento de imágenes, gráficos por computadora y muchas
otras áreas de la ciencia.

Empezar Unidad 5


UNIDAD 6


AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

En la última unidad hemos estudiado transformaciones lineales y su
representación matricial. Uno de los enfoques más poderosos para analizar la
conducta de ciertos sistemas del mundo real, es determinar los llamados
autovalores (eigenvalores) y autovectores (eigenvectores) de las matrices que
modelan dichos sistemas.
Los autovalores y autovectores nos permitirán simplificar el estudio de
transformaciones lineales definidas como T(x)=A.xT(x)=A.x , con A∈Rn×nA∈Rn×n,
encontrando una base conveniente para que la representación matricial sea más
sencilla.
Además, podremos factorizar matrices cuadradas y obtener fácilmente sus
potencias, que se aplican para estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos
(sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo).

Empezar Unidad 6


UNIDAD 7


CÓNICAS, PARAMETRIZACIÓN Y SUPERFICIES CUÁDRICAS

En esta unidad estudiaremos las curvas denominadas cónicas (parábolas,
circunferencias, elipses e hipérbolas) que tienen importancia por sus
aplicaciones a la Física y a la Ingeniería. Por ejemplo, las órbitas de los
planetas del sistema solar son elípticas. Las propiedades geométricas de las
cónicas se aplican tanto en ingeniería biomédica como en el diseño de faros de
automóviles o en la localización de barcos y aviones.

También veremos las superficies cuádricas (esferas, elipsoides, hiperboloides,
paraboloides, etc.) que podemos observar a menudo como formas arquitectónicas.

Empezar Unidad 7


UNIDAD 8


APLICACIONES DE LA DIAGONALIZACIÓN

En la unidad 6 trabajamos el tema autovalores y autovectores y analizamos las
condiciones que permiten diagonalizar una matriz cuadrada. Si una matriz es
diagonalizable, resulta muy sencillo calcular sus potencias, como veremos en
este capítulo.
Por otro lado, en la unidad 7 estudiamos las cónicas de ejes paralelos a los
ejes coordenados. Pero… ¿qué ocurre cuando las cónicas están rotadas respecto de
dichos ejes?
Veremos en esta unidad cómo la teoría de autovalores y autovectores, y en
particular la diagonalización ortogonal que caracteriza a las matrices
simétricas, permite dar respuesta a este problema.

Empezar Unidad 8


UNIDAD 9


NÚMEROS COMPLEJOS

En el campo de los números reales, no es posible resolver algunas ecuaciones
polinómicas sencillas tales como x2+1=0x2+1=0. Surge así la necesidad de ampliar
el campo numérico de modo que puedan calcularse las raíces de índice par de
números negativos, como√–1–1 .

En esta unidad presentaremos los números complejos, que dan respuesta a este
problema algebraico.

Algunas matrices, como por ejemplo R=(0–110)R=(0–110) que representa una
rotación de π2π2, no tienen autovalores reales y por lo tanto no pueden
diagonalizarse en  RR.

Sin embargo, dicha matriz sí es diagonalizable en complejos.

En la Ingeniería, los números complejos y las funciones de variable compleja
permiten resolver problemas en diferentes áreas como por ejemplo hidráulica,
electricidad, electromagnetismo y aerodinámica.

Empezar Unidad 9




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